El álgebra lineal es una rama de las matemáticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, espacio dual, sistemas de ecuaciones lineales y en su enfoque de manera más formal, espacios vectoriales y sus transformaciones lineales.
Es un área activa que tiene conexiones con muchas áreas dentro y fuera de las matemáticas, como el análisis funcional, las ecuaciones diferenciales, la investigación de operaciones, las gráficas por computadora, la ingeniería, etc.
Introducción al álgebra lineal - Serge Lang
Este libro se ideó como un texto breve para un curso semestral de álgebra lineal. Excepto por algún ejemplo o ejercicio ocasional, la lógica del texto es independiente del cálculo, y se podría utilizar desde los primeros cursos. En la práctica, mi intención es que lo utilicen principalmente los estudiantes que hayan cursado dos o tres semestres de cálculo. También se podría impartir el curso en forma simultánea con el primer curso de cálculo, o inmediatamente después de él.
He incluido algunos ejemplos de espacios vectoriales de funciones, aunque quienes deseen concentrarse en forma exclusiva en el estudio del espacio euclidiano podrían omitirlos del todo sin afectar la compresión del resto del libro. Además, si a algún lector le desagrada trabajar con n = n, siempre puede suponer que n = 1,2 ó 3, y eliminar otras interpretaciones. Sin embargo, dicho lector debería observar que el uso de n = n simplifica algunas fórmulas, abreviándolas por ejemplo, y debería tratar de alcanzar este nivel tan pronto como fuera posible. Por otra parte, como se quiere cubrir los casos n = 2 y n — 3, por lo menos, al usar n para denotar cualquiera de estos números se evitan repeticiones muy tediosas.
CONTENIDO:
CAPÍTULO I
Vectores
1. Definición de puntos en el espacio
2. Vectores anclados
3. Producto escalar
4. La norma de un vector
5. Rectas paramétricas
6. Planos
CAPÍTULO II
Matrices y ecuaciones lineales
1. Matrices
2. Multiplicación de matrices
3. Ecuaciones lineales homogéneas y eliminación
4. Operaciones por renglones y eliminación de Gauss
5. Operaciones por renglones y matrices elementales
6. Combinaciones lineales
CAPÍTULO III
Espacios vectoriales
1. Definiciones
2. Combinaciones lineales
3. Conjuntos convexos
4. Independencia lineal
5. Dimensión
6. El rango de una matriz
CAPÍTULO IV
Aplicaciones lineales
1. Aplicaciones
2. Aplicaciones lineales
3. El núcleo y la imagen de una aplicación lineal
4. El rango y las ecuaciones lineales de nuevo
5. La matriz asociada con una aplicación lineal
Apéndice: Cambio de bases
CAPÍTULO V
Composición y aplicaciones Inversas
1. Composición de aplicaciones lineales
2. Inversas
CAPÍTULO VI
Productos escalares y ortogonalidad
1. Productos escalares
2. Bases ortogonales
3. Aplicaciones bilineales y matrices
CAPÍTULO VII
Determinantes
1. Determinantes de orden 2
2. Determinantes de3x3ydenxn
3. El rango de una matriz y subdeterminantes
4. Regla de Cramer
5. Inversa de una matriz
6. Interpretaciones de los determinantes como área y como volumen
CAPÍTULO VIII
Vectores propios y vallores propios
1. Vectores propios y valores propios
2. El polinomio característico
3. Valores propios y vectores propios de matrices simétricas
4. Diagonalización de una aplicación lineal simétrica
Apéndice. Números complejos
Respuestas a tos ejercicios
índice
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